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¿Falsa Alarma o Proceso Fuera de Control?

marzo 30, 2009

Por Macario Hernández Garza
Sistemas de Optimización y Estadística, S. C. Copyright © 2009. Todos los derechos reservados.

La mayor parte los textos introductorios de Control Estadístico de Proceso (CEP), afirman que cuando un punto cae fuera de los límites de control (puesto que la probabilidad de que esto ocurre es muy baja) debemos pensar que el proceso ha salido de control.

puntofueradelimites

Figura 1

Como ya hemos comentado en un post anterior, los gráficos de control de Shewhart, son gráficos de control de tres sigmas y están basados en la tercera parte de la regla empírica, que afirma que tres sigmas alrededor de la media, se distribuye entre un 99% y el 100% de los valores.

Por otra parte cuando la distribución es normal tenemos que los valores que se distribuyen tres sigmas o tres desviaciones estándar alrededor de la media es el 99.73%.

Así que, si la distribución es normal y estamos usando un gráfico de control de medias, entonces puesto que el 99.73% de los valores caerán dentro de los límites del gráfico de control, tenemos que el 0.27% de los datos  caerán fuera de los límites.

Transformado a probabilidades, tenemos entonces que la probabilidad de que en un gráfico de control tipo Shewhart caiga un punto fuera de los límites de control es (asumiendo que los valores tienen una distribución normal)

ec1

Tenemos entonces que la probabilidad de que caiga un punto fuera de los límites de control, cuando el proceso se mantiene en control, y los valores tienen una distribución normal es 0.0027. Cuando esto ocurre, diremos que tenemos una falsa alarma. Es decir, observamos un punto fuera de los límites de control, pero el proceso se mantiene en control.

Se impone la pregunta ¿En promedio cuántos puntos debemos graficar antes de observar una falsa alarma?
Intuitivamente tenemos que debemos graficar X puntos, de tal forma que:

ec2

De tal forma que:

ec3

Entonces, en promedio debemos graficar 370.37 puntos antes de observar una falsa alarma. A este valor se le llama la longitud promedio de corrida, o en inglés, (Average Range Lengthec4.

Es decir, la longitud promedio de corrida (Average Range Lengthec4 es el número promedio de puntos que tenemos que graficar en un gráfico de control, antes de observar una falsa alarma.

El subíndice 0 en ec4 es importante, señala que es el número promedio de puntos a graficar antes de observar un punto fuera de control cuando el proceso está en control.

Se puede demostrar, aunque no lo voy a hacer, que la distribución de las falsas alarmas tiene una distribución geométrica con media 1/p, donde p es la probabilidad de que un valor caiga fuera de los límites de control.

Entonces la gráfica de la distribución de las falsas alarmas en un gráfico de control de Shewhart, donde los valores tienen una distribución normal, y por lo tanto, la probabilidad de que un punto caiga fuera de los límites de control es 0.0027. Es la siguiente:

chart1

Figura 2

Entonces la media de la anterior distribución es 370.37, sin embargo, vemos que es más probable observar valores más pequeños (falsas alarmas) que 370.37

Situación en la práctica diaria
Por otra parte, debemos estar conscientes que en la práctica la situación puede ser distinta, es decir, no todos los valores se distribuyen en forma normal, lo único que requerimos es que se cumpla la tercera parte de la regla empírica. Que se distribuyen a tres sigmas o desviaciones estándar alrededor de la media aproximadamente entre el 99% y el 100% de los valores.

Entonces si tenemos que para el caso de una característica de calidad que se está monitoreando con gráficos de control sólo el 99% de los valores caen entre los límites de control; tenemos entonces que el 1% caerán fuera de los límites de control aún y cuando el proceso esté en control. Esto nos indica que tendremos en promedio 1 falsa alarma cada 100 puntos graficados, es decir ec5 .

Si observamos un punto fuera de control ¿es una falsa alarma o el proceso salió de control?

Si observamos un punto fuera de los límites de control (asumiendo que los límites de los gráficos están bien calculados y que nuestro sistema de medición está trabajando apropiadamente), cabe la anterior pregunta ¿Es una falsa alarma o el proceso salió de control? Si observamos un punto fuera de control  no tenemos la certeza de lo ocurrido, si detenemos el proceso para investigar lo que ocurrió y finalmente encontramos que era una falsa alarma, habremos incurrido en un costo. Por otra parte, si no hacemos caso del punto fuera de los límites de control y seguimos trabajando como si nada hubiese ocurrido y realmente el proceso salió de control, estaremos incurriendo también en un costo.

El estadístico Irving W. Burr recomienda que al observar un punto fuera de los límites de control, se acelere la velocidad de toma de las muestras (subgrupos), de tal forma, que si estábamos tomando un subgrupo cada hora, ahora, digamos, tomemos subgrupos cada 15 minutos, de tal forma que si en realidad salió el proceso fuera de control nos los confirmen los subgrupos que estamos muestreando frecuentemente. Si después de un tiempo razonable, no ocurre un punto fuera de control; tendremos probablemente que el valor observado inicialmente fue realmente una falsa alarma y podemos continuar con nuestra conducta anterior de tomar subgrupos para graficar cada hora.

4 comentarios leave one →
  1. priscila permalink
    noviembre 25, 2009 2:19 pm

    Hola quisiera conocer o ver la demostraciòn de la fòrmula de ARL= 1/p

  2. noviembre 16, 2011 3:06 pm

    Hola: se puede o es correcto calcular el ARL para una carta binomial?

  3. Macario Hernández permalink*
    noviembre 17, 2011 10:26 am

    Así es Roberto. Puedes encontrar más información acerca del ARL en un gráfico de control p, c, etc. en el libro: Introduction to Statistical Quality Control de Douglas C. Montgomery (Cuarta Edición o superior a esa Edición)

    Saludos

    Macario

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