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Prueba de que ARLo=1/p (Tasa promedio de corridas de falsas alarmas en un gráfico de control de Shewhart).

noviembre 26, 2009

Por Macario Hernández Garza
Sistemas de Optimización y Estadística, S. C. Copyright © 2009. Todos los derechos reservados.

Una amable lectora pregunta que como se puede demostrar o probar que ARL_{0}=1/p

Como se recordará de algunos post anteriores el ARL_{0} (Average Run Length) es la llamada longitud promedio de corrida de falsas alarmas en un gráfico de control de Shewhart.

Por posts anteriores en este blog, se ha comentado que los gráficos de control de shewhart son gráficos de control de 3 sigmas de corto plazo, es decir: (3\sigma_{ST}). Es decir, si tenemos un gráfico de control de medias, tendremos como límite central del gráfico de control de medias, la media de la característica de calidad que se esté monitoreando o de las variable crítica del proceso como presión, voltaje, etc. Ahora bien, el límite de control inferior (LCI) se debe encontrar tres sigmas de corto plazo debajo del límite central (LC) y el límite de control superior  (LCS) se debe encontrar tres sigmas de corto plazo por encima del límite central.

Y como recordaremos, la tercera parte de la regla empírica nos dice a una distancia de tres sigmas por debajo o por encima de la media se encuentra aproximadamente el 99% de los datos, en el caso particular de la distribución normal el 99.73% de los datos. Entonces, digamos que hay una pequeña probabilidad de que un punto del gráfico de control caiga fuera de los límites de control, aún y cuando el proceso esté en control, esta pequeña probabilidad llamémosla p, y es generalmente más pequeña de 1%, en el caso de la distribución normal,  p sería  0.27% . En el caso de que esto ocurra diremos que tenemos una falsa alarma.

Ahora bien, puesto que p es la probabilidad de que el punto caiga fuera de los límites de control, cuando éste está en control (falsa alarma), nos interesa cual es la distribución de probabilidad de este evento, es decir, que se presente la falsa alarma.

Ahora bien, puede ocurrir que al empezar a gráficar puntos en el gráfico de control, la falsa alarma se presente al gráficar el punto n, en cuyo caso no se presentó en los (n-1) puntos anteriores.

Considerando que estos eventos son independientes y que X es la probabilidad del primer evento que es éxito (que se presente la falsa alarma) tenemos entonces

P(X=n)=p(1-p)^{n-1}, \: \: n\geq 1

Lo cual puede conseguirse observando que para que el primer éxito ocurra en la prueba n los primeros n-1 debieron haber sido fallos y el enésimo un éxito. La ecuación anterior se deriva de que las pruebas son independientes.

Ahora bien, una variable cuya función de probabilidad viene dada por la ecuación anterior se le llama una variable aleatoria geométrica con  parámetro p. La media de la distribución geométrica se obtiene de la siguiente manera:

La ecuación anterior hace uso de de la identidad algebraica, para 0<x<1,

Es decir, las falsas alarmas tienen una distribución geométrica con parámetro p, y como la media de la distribución geométrica es 1/p, tenemos entonces:

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